سؤال #6,021

$$y = (2x - 1)^{2} \sqrt{x^{2} + 4x} \Rightarrow y' = 4(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 4x} + \frac{(2x - 1)^{2} (x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 4x}}$$
در اینجا می‌توان یکبار دیگر مشتق گرفت و مقدار مشتق دوم را در نقطهٔ \(x = \frac{1}{2}\) بدست آورد، ولی بنا بر شرایط مسئله
اگر از تعریف مشتق استفاده شود کار ساده‌تر خواهد بود: $$y''(\frac{1}{2}) = \lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \style{font-family:Vazirmatn; direction:rtl; unicode-bidi:embed}{\text{ }}\frac{y'(x) - y'(\frac{1}{2})}{x - \frac{1}{2}}= 2 \lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{y'(x) - y'(\frac{1}{2})}{2x - 1}$$ $$ \Rightarrow y''(\frac{1}{2}) = 2\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{4(2x-1)\sqrt{x^{2} + 4x} + \frac{(2x-1)^{2} (x+2)}{\sqrt{x^{2} + 4x}}}{2x - 1}= 2\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}} 4\sqrt{x^{2} + 4x} + \frac{(2x-1)(x+2)}{\sqrt{x^{2} +4x}}$$ $$= 2(4\sqrt{\frac{1}{4} + 2} + 0) = 2(4 \times \frac{3}{2}) = 12$$
بنابراین گزینه 1 پاسخ صحیح است.